Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

線型代数、、て言っても。。〜その2〜

前回は、こちらから

一次変換

、、ていうのが過去の高校の教科書にあったようです。上記の記法に倣えば、
\mathbb{R}^2\ni x \mapsto y\in\mathbb{R}^2
です。\mathbb{R}の肩に乗っかっている数字が2になっているところに注意です。


幾何的な意味では平面上のベクトルをやはり平面ベクトルに変換することに相当しますね。上に書いた「直線の方程式」に該当するものが
\bf{y}=\bf{A}\bf{x}+\bf{b}
です。ここで、x, y, A, bを太字にしたのは、\bf{x}, \bf{y}, \bf{b}が平面ベクトル、\bf{A}が2行2列の行列なので注意してねー、という合図です。数学用語で「アフィン変換」とか言うんですが、難しいところは置いておきましょう。

、、、で、大学で勉強するはずの「線型代数」は、

雰囲気的には
\mathbb{R}^n\ni x \mapsto y\in\mathbb{R}^n
なる対応(\mathbb{R}の肩に乗っている数字がnですよね)を一般的に考えてしまえば、(有限次元なら)汎用性があるよね、という親心*1からです。
まぁ、確かに変数の個数が具体的ではない分、「ふわっと感」はありますが、固有値だ、スペクトル分解だ、Jordanの標準形だ、Sylvesterの慣性律だなんだと言う前に、まずはこういった「最もシンプルなケースだとどうなるの?」*2に立ち戻れる想像力をつけられるといいかも知れませんね。

ps)
久々、ごっつい数学の話を書き始めたんですが、やっぱりもう少し噛み砕いて書いた方がいいのかな。。。

*1:もしくは親切心

*2:この記事で言うところの「直線の方程式」とか