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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

幾何分布の平均

例によって、下記の本の練習問題からです。幾何分布
P(X=r)=pq^{r-1}
に対して
\displaystyle E(X)=\sum_rr\times pr^{r-1}
を求めましょう。

自然科学の統計学 (基礎統計学)

自然科学の統計学 (基礎統計学)

\displaystyle E(X)=\sum_rr\times pq^{r-1}=p\(\sum_rrq^{r-1}\)

カッコの中は単項式の微分

\displaystyle \frac{d}{dx}(x^r)=rx^{r-1}

を無限に加えたものですね。一方、

\displaystyle 1+x+x^2+\dots=\sum_r x^r=\frac{1}{1-x}

ただし、この等式は\mathbb{R}に通常の位相を入れた時の|x|<1の時に成立しますね。この等式の両辺をxで微分します。まず左辺は項別微分して

\displaystyle \frac{d}{dx}\(\sum_rx^r\)=\sum_rrx^{r-1}

ですね。一方の右辺は

\displaystyle \frac{d}{dx}\(\frac{1}{1-x}\)=\frac{1}{(1-x)^2}

つまり

\displaystyle \sum_rrx^{r-1}=\frac{1}{(1-x)^2}

これらから
\displaystyle E(X) = p\(\sum_rrq^{r-1}\) = p\times \frac{1}{(1-q)^2}=p\times \frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}