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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

Poisson分布の分散

前回に引き続きのネタですねー。

まずは復習から。Poisson分布は\lambda (>0)として
\displaystyle
P(X=k)=e^{-k}\times\frac{\lambda^k}{k!}
でしたね。


V(X)=E(X^2)-E(X)^2
です。例によって、右辺第一項に注目しましょう。

\displaystyle
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \sum_{k\ge 0}\( e^{-\lambda}\times\frac{\lambda^k}{k!} \)k^2\\
&=& e^{-k}\times \{ \sum_{k\ge 1}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}\times (k-1+1)\}\\
\end{eqnarray}
ここで、和Σの添字の範囲が変わっていることに注意して下さいね。
\displaystyle
\begin{eqnarray}
(R.H.S.) &=& e^{-\lambda}\times \{ \sum_{k\ge 2}\frac{\lambda^k}{(k-2)!}+\sum_{k\ge 1}\frac{\lambda^k}{(k-1)!}\}\\
\end{eqnarray}
ここでは、(k-1+1)の部分をk-1kとに分割しました。
\displaystyle
\begin{eqnarray}
(R.H.S.) &=& e^{-\lambda}\times \{ \sum_{k\ge 2}\lambda^2\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\sum_{k\ge 1}\lambda\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\}\\
\end{eqnarray}
ですから、l=k-2, m=k-1とおけば
\displaystyle
\begin{eqnarray}
(R.H.S.) &=& e^{-\lambda}\times \{ \lambda^2\sum_{l\ge 0}\frac{\lambda^l}{l!}+\lambda\sum_{m\ge 0}\frac{\lambda^m}{m!}\}\\
\end{eqnarray}
なので、自然対数のMaclaurin展開より
\displaystyle
\begin{eqnarray}
(R.H.S.) &=& e^{-\lambda}\times(\lambda^2 e^{\lambda}+\lambda e^{\lambda}\)\\
&=& \lambda^2+\lambda
\end{eqnarray}
と求まります。前回の結果E(X)=\lambdaと合わせれば、

V(X)=E(X^2)-E(X)^2=(\lambda^2+\lambda)-\lambda^2=\lambda

ですね♪