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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

積分の表記の仕方

昨日、Gaussian e^{-x^2}の積分の話を書きました。昨日は、高校で学ぶ順序が

不定積分→定積分

なのに対して、大学で使う数学の教科書などでは

実数論→定積分→不定積分

であることが多いですよ、て話をしました。

そこからの連想で思い出したことですが、大学で微分幾何を勉強していると、違った意味で積分の捉え方が変わったりします。通常定積分は

\displaystyle
\int_a^bf(x)dx
のように記載されますが、微分幾何で主人公ともいうべき多様体(manifold)ていう

一般的には、目に見えないけど局所的にはEuclid空間と同じような図形(のようなもの)

の話を学ぶと、ちょっと捉え方が変わります。結論から言うと、その図形のような対象の多様体Mに対して被積分関数(のようなもの)f(x)dxを関数f(x)dxというオマケがついたモノ*1 \omegaで積分すると、

\displaystyle
\int_M\omega
のように記載されます。すると、高校生までに習った積分は

\displaystyle
\int_{[a,b]} f(x)dx
と表現されます。つまり、区間[a,b]を「図形」と捉えているわけですね。何となく高校数学で「定積分=図形の面積」、つまりどこか2次元の世界での話のようなイメージを持つこともあるかと思いますが、捉え方を変える、つまり区間[a,b]を図形と捉える場合はどこまで言っても1次元での話に落ち着きます。その意味では、f(x)という関数の不定積分(の1つ)をF(x)と書くことにすると

\displaystyle
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
ですが、左辺は区間、つまり1次元上の図形[a,b]上での計算なのに対し、右辺は不定積分を使うことによって0次元での値、しかも区間[a,b]の端点での値さえ決めれば計算出来ることを示していますね。これを一般次元に拡張したものがStokesの定理*2というやつで、

\displaystyle
\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega
と表します。記号の難しい話を語りだすと非常に長いのですが、

\displaystyle
d\omega \rightarrow \omega
は、f(x)dx \rightarrow F(x)のような操作を表し、

\displaystyle
M \rightarrow \partial M
は、区間[a,b]に対する境界値a,bが対応します。今日はちょっと話を飛ばし過ぎましたかね。。(大汗)*3

多様体入門 (数学選書 (5))

多様体入門 (数学選書 (5))

*1:微分形式(differential form)と言います

*2:ベクトル解析では、Gaussの発散定理でしたっけ、、

*3:しかも結構いろんな「飛躍」を無視して雰囲気重視で書いています。。