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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

Fermat曲線のgenusの計算 〜その1〜

昨夜、思い立って小平先生の複素多様体論を読みたくなって、手を動かして計算したところまでのメモ(を何回かに分けて)を書いておきます*1

新装版 複素多様体論

新装版 複素多様体論

ここでFermat曲線と言っているものは\zeta_0^m+\zeta_1^m+\zeta_2^m=0で定義される曲線ですね。どこで考えているかって言うと、P^2の中ですね。


まずは集合論的に

  • 複素数体を明示する記法なら\mathbb{C}P^2でしょうか。なので、集合論的に書けば、 
\{[\zeta_0, \zeta_1, \zeta_2]\in P^2; \zeta_0^m+\zeta_1^m+\zeta_2^m=0\}
ですね。これをCと書きましょうか。

射影平面に入ってることの確認

  • 既にネタバレ感満載ですが、記号Cを使った、ていうことはcurveの略、つまり代数曲線(algebraic curve)、もしくはコンパクトRiemann面(Riemannian surface)ですね。

  • (複素)射影平面P^2の中に埋め込める、てことは同次座標(homegeneous coordinates)で記載してます。射影平面の定義より、P^2の中ではz, w\in\mathbb{C}^3-\{(0,0,0\}に対し、 z\sim w, \Leftrightarrow \exists\lambda\in\mathbb{C}^{\times} s.t. z=\lambda w つまりP^2内で同じ点であることは同一複素直線上であることを意味してたわけです。*2

  • これを援用すれば、Cから射影平面P^2への埋め込み、つまり単射(injective)か、て話ですね。例によって*3P^2内で同じ点を定めるとしましょう、つまりz=(z_0, z_1, z_2), w=(w_0, w_1, w_2)に対して[z]=[w]

  • このことは上でも触れたように\exists\lambda\in\mathbb{C}^{\times} s.t. z=\lambda wですね。
  • 主張は、z, wCの点として同一か、ということですが、定義方程式から z_0^m+z_1^m+z_2^m=0 ですね。両辺に\lambda^mを掛ければ(\lambda z_0)^m+(\lambda z_1)^m+(\lambda z_2)^m=0であり、これは取りも直さずw_0^m+w_1^m+w_2^m=0を意味しますので、z,wCの点として同一ですね。

なぜFermat曲線という名前か

  • ここまでお読みになられた方は十中八九ご存知かと思われますが、Fermat方程式の格好をしているからですね:)

もう少し計算してるところを書きたかったのですが、今日はここでタイムアップ。また次回お会いしましょう。*4

*1:全部理解しきった訳ではないのでアレですけれども、、、

*2:まぁ射影平面自体が直線の集まりですから、、、

*3:つまり単射の定義

*4:誰が読むんだ!w