無相関って何でしたっけ？

統計の本を読んでいて、思いがけずどん詰まってしまったためにメモしておきます。
表題の通り、「無相関(uncorrelated)」について何が成立するか、ですが、何はともあれ定義の復習。

確率変数に対して、共分散は、

で定義されます。でもって、無相関であるとは、を指します。

これは、上の定義に立ち返れば、

つまり

ですね。一般論では、ここまでです。

特殊な場合、もしくはなんて場合を考えれば、が導けます。最後のこの式だけが出てきて、突然「無相関だから」なんて言われても結構焦りますよね（笑）