積分の表記の仕方

昨日、Gaussian $e^{-x^2}$ の積分の話を書きました。昨日は、高校で学ぶ順序が

不定積分→定積分

なのに対して、大学で使う数学の教科書などでは

実数論→定積分→不定積分

であることが多いですよ、て話をしました。

そこからの連想で思い出したことですが、大学で微分幾何を勉強していると、違った意味で積分の捉え方が変わったりします。通常定積分は
$\displaystyle \int_a^bf(x)dx$
のように記載されますが、微分幾何で主人公ともいうべき多様体(manifold)ていう

一般的には、目に見えないけど局所的にはEuclid空間と同じような図形（のようなもの）

の話を学ぶと、ちょっと捉え方が変わります。結論から言うと、その図形のような対象の多様体 $M$ に対して被積分関数（のようなもの） $f(x)dx$ を関数 $f(x)$ に $dx$ というオマケがついたモノ*1 $\omega$ で積分すると、
$\displaystyle \int_M\omega$
のように記載されます。すると、高校生までに習った積分は
$\displaystyle \int_{[a,b]} f(x)dx$
と表現されます。つまり、区間 $[a,b]$ を「図形」と捉えているわけですね。何となく高校数学で「定積分=図形の面積」、つまりどこか2次元の世界での話のようなイメージを持つこともあるかと思いますが、捉え方を変える、つまり区間 $[a,b]$ を図形と捉える場合はどこまで言っても1次元での話に落ち着きます。その意味では、 $f(x)$ という関数の不定積分（の１つ）を $F(x)$ と書くことにすると
$\displaystyle \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
ですが、左辺は区間、つまり1次元上の図形 $[a,b]$ 上での計算なのに対し、右辺は不定積分を使うことによって0次元での値、しかも区間 $[a,b]$ の端点での値さえ決めれば計算出来ることを示していますね。これを一般次元に拡張したものがStokesの定理*2というやつで、
$\displaystyle \int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega$
と表します。記号の難しい話を語りだすと非常に長いのですが、
$\displaystyle d\omega \rightarrow \omega$
は、 $f(x)dx \rightarrow F(x)$ のような操作を表し、
$\displaystyle M \rightarrow \partial M$
は、区間 $[a,b]$ に対する境界値 $a,b$ が対応します。今日はちょっと話を飛ばし過ぎましたかね。。（大汗）*3