Fermat曲線のgenusの計算〜その1〜

昨夜、思い立って小平先生の複素多様体論を読みたくなって、手を動かして計算したところまでのメモ（を何回かに分けて）を書いておきます*1

ここでFermat曲線と言っているものは $\zeta_0^m+\zeta_1^m+\zeta_2^m=0$ で定義される曲線ですね。どこで考えているかって言うと、 $P^2$ の中ですね。

まずは集合論的に

複素数体を明示する記法なら $\mathbb{C}P^2$ でしょうか。なので、集合論的に書けば、 $\{[\zeta_0, \zeta_1, \zeta_2]\in P^2; \zeta_0^m+\zeta_1^m+\zeta_2^m=0\}$ ですね。これを $C$ と書きましょうか。

既にネタバレ感満載ですが、記号 $C$ を使った、ていうことはcurveの略、つまり代数曲線(algebraic curve)、もしくはコンパクトRiemann面(Riemannian surface)ですね。
(複素)射影平面 $P^2$ の中に埋め込める、てことは同次座標(homegeneous coordinates)で記載してます。射影平面の定義より、 $P^2$ の中では $z, w\in\mathbb{C}^3-\{(0,0,0\}$ に対し、 $z\sim w, \Leftrightarrow \exists\lambda\in\mathbb{C}^{\times} s.t. z=\lambda w$ つまり $P^2$ 内で同じ点であることは同一複素直線上であることを意味してたわけです。*2
これを援用すれば、 $C$ から射影平面 $P^2$ への埋め込み、つまり単射(injective)か、て話ですね。例によって*3 $P^2$ 内で同じ点を定めるとしましょう、つまり $z=(z_0, z_1, z_2), w=(w_0, w_1, w_2)$ に対して $[z]=[w]$
このことは上でも触れたように $\exists\lambda\in\mathbb{C}^{\times} s.t. z=\lambda w$ ですね。
主張は、 $z, w$ が $C$ の点として同一か、ということですが、定義方程式から $z_0^m+z_1^m+z_2^m=0$ ですね。両辺に $\lambda^m$ を掛ければ $(\lambda z_0)^m+(\lambda z_1)^m+(\lambda z_2)^m=0$ であり、これは取りも直さず $w_0^m+w_1^m+w_2^m=0$ を意味しますので、 $z,w$ は $C$ の点として同一ですね。