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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

Poisson分布の期待値

Poissonと言えば、魚!、、、でもありますが、偉大な数学者ですね。

今回は、Poisson分布
\displaystyle P(X=k)=e^{-\lambda}\times\frac{\lambda^k}{k!},\ where\ \lambda>0
の期待値を計算してみましょう。

\displaystyle
\begin{eqnarray}
E(X) &=& \sum_{k\ge 0}\(e^{-\lambda}\times\frac{\lambda^k}{k!}\)\times k\\
&=& e^{-\lambda}\times\(\sum_{k\ge 1}\frac{\lambda^k}{k!}\times k\)
\end{eqnarray}
若干分かりにくいですが、和Σの中はk\ge 0ですが、kで加えていますから実質的にはk\ge 1ですね。
\displaystyle
(R.H.S.)= e^{-\lambda}\times\lambda\times\(\sum_{k\ge 1}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\)
= e^{-\lambda}\times\lambda\times\(\sum_{l\ge 0}\frac{\lambda^l}{l!}\)
ここで、l=k-1と置換しています。

\displaystyle
(R.H.S.)=e^{-\lambda}\times \lambda \times e^{\lambda}=\lambda

式変形でいえば、lとkの置換(substitute)というか、\lambdaを外に出すところでしょうか。

取り敢えず、二項分布、幾何分布、Poisson分布と見てきて、
「今さら」感漂うコメントですが、高校数学程度*1で結構証明できるもんなんですね。

*1:受験数学みたいなtrickyなものでなくておk