幾何分布の平均 - Festina lente

例によって、下記の本の練習問題からです。幾何分布
$P(X=r)=pq^{r-1}$
に対して
$\displaystyle E(X)=\sum_rr\times pr^{r-1}$
を求めましょう。

$\displaystyle E(X)=\sum_rr\times pq^{r-1}=p$\sum_rrq^{r-1}$$

カッコの中は単項式の微分

$\displaystyle \frac{d}{dx}(x^r)=rx^{r-1}$

を無限に加えたものですね。一方、

$\displaystyle 1+x+x^2+\dots=\sum_r x^r=\frac{1}{1-x}$

ただし、この等式は $\mathbb{R}$ に通常の位相を入れた時の $|x|<1$ の時に成立しますね。この等式の両辺をxで微分します。まず左辺は項別微分して

$\displaystyle \frac{d}{dx}$\sum_rx^r$=\sum_rrx^{r-1}$

ですね。一方の右辺は

$\displaystyle \frac{d}{dx}$\frac{1}{1-x}$=\frac{1}{(1-x)^2}$

つまり

$\displaystyle \sum_rrx^{r-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$

これらから
$\displaystyle E(X) = p$\sum_rrq^{r-1}$ = p\times \frac{1}{(1-q)^2}=p\times \frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}$