二項分布の分散 - Festina lente

前回に引き続きの、二項分布の分散(variance)です。*1例によって下記の本の練習問題ですね。

自然科学の統計学 (基礎統計学)

作者: 東京大学教養学部統計学教室
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 1992/08
メディア: 単行本
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まずは分散の定義では、

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$

ですね。*2 前回、平均はnpと求めましたので、右辺の第１項 $E(X^2)$ に集中しましょう。

$\displaystyle E(X^2)=\sum_i{}_nC_ip^iq^{n-i}\times i^2$

ですから前回同様、 $i^2p^i$ に注目しましょう。 $i^2$ と2乗が出てきているので2回微分してみましょうか。前回得た式

$\displaystyle an(a+b)^{n-1}=\sum_i{}_nC_iia^ib^{n-i}$

の両辺をaで偏微分します。左辺は

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial a}\{ an(a+b)^{n-1} \} &=& n(a+b)^{n-1}+an(n-1)(a+b)^{n-2} \\ &=& n(a+b)^{n-2}\{ (a+b)+a(n-1) \} \end{eqnarray}$

一方の右辺は

$\displaystyle \sum_i{}_nC_ii^2a^{i-1}b^{n-i}$

なので、両辺にaを掛ければ

$\displaystyle n(a+b)^{n-2}\{ (a+b)+a(n-1) \} = \sum_i{}_nC_ii^2a^{i-1}b^{n-i}$

よって、 $a=p, b=q$ とおけば

$E(X^2)=pn(p+q)^{n-2}\{ (p+q)+p(n-1) \} =pn(1+pn-p)$

前回同様、 $p+q=1$ を使ってますよー。まとめると、

$V(X)=pn(1+pn-p)-(pn)^2=pn(1-p)=npq$

*1:前回は、「平均」でした

*2:まぁ、何が定義かってのは、流儀によっても違うようですので、今回は計算し易いものを「定義」とする方針で