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Festina lente

急がば回れ(ラテン語)。時には寄り道も。

定積分とか。

いろいろとワタワタしてしまって、更新が出来ていませんでした(汗)

今日はこんな定積分、、


\displaystyle
g(\alpha)=\int_{-\infty}^{\alpha}(x-\alpha)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)dx

を計算してたりしたんですが、手計算でやるのはかなり久々だったためか、計算ミス連発で妙に時間がかかってしまいました(汗)普段、暗算すらままならない状況ですからねー。。。


ちなみに、上の積分は確かに\alphaでは決まりますが、明示的には書けませんね。。
不定積分

\displaystyle
\int\exp\left(-x^2\right)dx
が存在しないっていうのが理由です。大学に入ってから誰かから、「初等関数*1では書けない」ってことを教えてもらったっけ。。*2もう少し難しそうに見えるこっち

\displaystyle
\int x\exp\left(-x^2\right)dx
は計算出来るのにね。。。難儀なもんです。

そう言えば、高校までは、

不定積分→定積分

の順序で習いましたが、大学の数学科で授業を受けると

実数論→定積分→不定積分

の順序なんですよね。。定積分

\displaystyle
\int_b^af(x)dx
が実数値として定めた後、

\displaystyle
F(x):=\int_b^x f(x)dx
として定めると、bの分だけ「不定性」が残るため不定積分、、、ていうノリ、、、だったかな、確か(汗)その部分を「積分定数」なんて言ったんでしたっけ。何だかややこしいですが、根っこに隠れているのは、「極力仮定するべきものを削ぎ落として形式化していくと、実数論まで落とせるよ」て話ですね。

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*1:初等関数って言い回しも、微分体あたりの文脈ではあまり馴染まないって話を最近知りましたが、、

*2:証明は読んでおりませんが、、